Question

9．已知函數f（x）=xe^x-a（x-1）（a∈R）
（1）若函數f（x）在x=0處有極值，求a的值及f（x）的單調區間
（2）若存在實數x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使得f（x₀）＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出a的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為a＜$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，設h（x）=$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-a，
由f′（0）=0，解得：a=1，
故f′（x）=（x+1）e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）若f（x）＜0在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，
即xe^x＜a（x-1），a＜$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，
設h（x）=$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則h′（x）=$\frac{{e}^{x}{（x}^{2}-x-1）}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
故h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，
h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）的值域是（-$\sqrt{e}$，0），
故a＜h（0）=0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．