Question

5．已知兩點A（-1，2），B（m，3），求：
（1）直線AB的斜率k；
（2）求直線AB的方程；
（3）已知實數m∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，$\sqrt{3}$-1]，求直線AB的傾斜角α的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據斜率公式計算即可，
（2）當m=-1時，直線的斜率不存在，寫出直線的方程；當m≠-1時，由兩點式求直線的方程．
（3）已知實數m∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，$\sqrt{3}$-1]，利用不等式的性質求出斜率α的范圍，再利用正切函數的單調性求出傾斜角α的范圍．

解答 解：（1）當m=-1時，直線AB的斜率不存在；
當m≠-1時，k=$\frac{1}{m+1}$．
（2）當m=-1時，AB的方程為x=-1，
當m≠-1時，AB的方程為y-2=$\frac{1}{m+1}$（x+1）．
（3）①當m=-1時，α=$\frac{π}{2}$；
②當m≠-1時，∵k=$\frac{1}{m+1}$∈（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
∴α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]．
綜合①②，知直線AB的傾斜角α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．

點評 本題考查直線的傾斜角和斜率的關系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數值求角的大小，以及用兩點式求直線的方程，體現了分類討論的數學思想．