Question

16．已知p：不等式|m-1|≤$\sqrt{{a^2}+4}$對于$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$恒成立，q：x²+mx+m＜0有解，若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出p，q的等價條件，結合復合命題真假關系進行轉化求解即可．

解答 解：∵$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$，∴$\sqrt{{a^2}-4}∈[{2，3}]$，
∵對于$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$，不等式$|m-1|≤\sqrt{{a^2}+4}$恒成立，可得|m-1|≤2，
∴p：-1≤m≤3，
又命題q：x²+mx+m＜0有解，∴△=m²-4m＞0，解得m＜0或m＞4，
∵p∨q為真，且p∧q為假，
∴p與q必有一真一假當p真q假時，有$\left\{\begin{array}{l}-1≤m≤3\\ 0≤m≤4\end{array}\right.$，
即0≤m≤3，
當p假q真時，有$\left\{\begin{array}{l}m＜-1或m＞3\\ m＞4或m＜0\end{array}\right.$，即m＜-1或m＞4，
綜上，實數m的取值范圍是（-∞，-1）∪[0，3]∪（4，+∞）．

點評 本題主要考查復合命題真假關系的應用，求出命題的等價條件，結合復合命題真假關系是解決本題的關鍵．