Question

7．已知α為第二象限角，sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，則tanα的值為（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{4}{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 由已知利用兩角和的正弦函數(shù)公式可得sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得12tan²α+25tanα+12=0，進(jìn)而解得tanα的值．

解答 解：∵α為第二象限角，sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，可得：sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
∴兩邊平方，可得：1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinαcosα=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{24}{25}$，整理可得：12tan²α+25tanα+12=0，
∴解得：tanα=-$\frac{4}{3}$，或-$\frac{3}{4}$．
∵tanα=-$\frac{3}{4}$=$\frac{sinα}{cosα}$．可得：sinα=-$\frac{3}{4}$cosα，解得cosα=$\frac{4}{5}$＞0，由于α為第二象限角，矛盾．故舍去．
∴tanα=-$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．