Question

18．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=10，S₄=28，數列$\left\{{\frac{1}{{{S_n}+2}}}\right\}$的前n項和為T_n，則T₂₀₁₇=$\frac{2017}{4038}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出等差數列的前n項和，化簡所求的通項公式，然后求和即可．

解答 解：等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=10，S₄=28，可得a₁+a₄=14，解得a₁=4，10=4+3d，解得d=2，
S_n=4n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+3n，
$\frac{1}{{S}_{n}+2}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
則T₂₀₁₇=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}$=$\frac{2017}{4038}$．
故答案為：$\frac{2017}{4038}$．

點評 本題考查數列求和，等差數列通項公式以及性質的應用，考查計算能力．