Question

6．已知拋物線E：y²=4x的準線為l，焦點為F，O為坐標原點．
（1）求過點O，F，且與l相切的圓的方程；
（2）過F的直線交拋物線E于A，B兩點，A關于x軸的對稱點為A′，求證：直線A′B過定點．

Answer 1

分析 （1）由題意求得焦點及準線方程，即可求得圓心，利用點到直線的距離公式，即可求得半徑，即可求得圓的方程；
（2）方法一：設直線AB方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理，求得直線BA′的方程為，當y=0，求得x=-1，則直線BA′過定點（-1，0）；
方法二：設直線AB方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理求得k_A′M-k_BM=0，則k_A′M=k_BM=0，A′、B、M三點共線，則直線BA′過定點（-1，0）；
方法三：設直線AB的方程：x=my+1，求得直線BA′的方程為，利用韋達定理可得y=$\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x+1}）$，則直線BA′過定點（-1，0）．

解答 解：（1）拋物線E：y²=4x的準線l的方程為：x=-1，焦點坐標為F（1，0），
設所求圓的圓心C（a，b），半徑為r，∵圓C過O，F，
∴$a=\frac{1}{2}$，∵圓C與直線l：x=-1相切，
∴$r=\frac{1}{2}-（{-1}）=\frac{3}{2}$．
由$r=|{CO}|=\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{b^2}}=\frac{3}{2}$，得$b=±\sqrt{2}$．
∴過O，F，且與直線l相切的圓的方程為${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{（{y±\sqrt{2}}）^2}=\frac{9}{4}$；
（2）證明：解法一：依題意知直線AB的斜率存在，設直線AB方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），A′（x₁，-y₁），
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁•x₂=1．
∵直線BA′的方程為$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_2}}）$，
∴令y=0，得$x=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{x_2}k（{{x_2}-1}）+{x_1}k（{{x_2}-1}）}}{{k（{{x_1}-1}）+k（{{x_2}-1}）}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）}}{{-2+（{{x_1}+{x_2}}）}}=-1$．
直線BA′過定點（-1，0），
解法二：直線BA′過定點M（-1，0）．
證明：依題意知直線AB的斜率存在，設直線AB方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），A′（x₁，-y₁），
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁•x₂=1．
∵${k_{A′M}}-{k_{BM}}=\frac{{-{y_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=-\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}+{y_1}+{y_2}}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$，
∵x₂y₁+x₁y₂+y₁+y₂=k（x₁-1）x₂+k（x₂-1）x₁+k（x₁+x₂-2）=2kx₁x₂-2k=2k•1-2k=0．
∴k_A′M-k_BM=0，即k_A′M=k_BM=0，A′、B、M三點共線，
∴直線BA′過定點（-1，0）．
解法三：設直線AB的方程：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得，y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
∵${k_{BA′}}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}$，
∴直線BA′的方程為$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_2}}）$．
∴$y=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x-{x_2}}）+{y_2}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+{y_2}-\frac{{4{x_2}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+\frac{{{y_2}^2-{y_1}{y_2}-4{x_2}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}$=$\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x+1}）$．
∴直線BA′過定點（-1，0）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．