Question

16．△ABC是底邊邊長為2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，P是以直角頂點C為圓心，半徑為1的圓上任意一點，若m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，則n-m的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設P（cosθ，sinθ），再代入計算即可．

解答 解：以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設P（cosθ，sinθ），
∵△ABC是底邊邊長為2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
∴A（2，0），B（0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（cosθ-2，sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-cosθ，2-sinθ），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=cos²θ-2cosθ+2sinθ-sin²θ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1，
∵-1≤sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-2$\sqrt{2}$+1≤2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1≤2$\sqrt{2}$+1，
∵m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，
∴m=1-2$\sqrt{2}$，n=1+2$\sqrt{2}$，
∴n-m=4$\sqrt{2}$，
故選：A

點評 本題的關鍵在建立坐標系，然后用三角代換表示各點的坐標，這樣使得問題容易表達并易于求解，屬中檔題．