Question

1．已知O為直角坐標系原點，P，Q的坐標滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，則cos∠POQ的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 先畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，對應的平面區域，利用余弦函數在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數，再找到∠POQ最大時對應的點的坐標，就可求出cos∠POQ的最小值．

解答 解：滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，的平面區域如下圖示：
因為余弦函數在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數，所以角最大時對應的余弦值最小，
由圖得，當P與A（1，7）重合，Q與B（4，3）重合時，∠POQ最大．
此時k_OB=$\frac{3}{4}$，k_0A=7．由tan∠POQ=$\frac{7-\frac{3}{4}}{1+7×\frac{3}{4}}$=1⇒∠POQ=$\frac{π}{4}$⇒cos∠POQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題屬于線性規劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數的最值，而是求可行域內的點與原點（0，0）圍成的角的問題．