Question

11．如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PC；
（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若過點B的直線l垂直平面PCD，求證：l∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）利用側(cè)面PAD⊥底面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而CD⊥PA，結(jié)合PA⊥PC得出PA⊥平面PCD，故而平面PAB⊥平面PCD；
（2）由線面垂直的性質(zhì)可得l∥PA，于是l∥平面PAD．

解答 證明：（1）∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵AP?平面PAD，
∴PA⊥CD，又PA⊥PC，PC∩CD=C，CD、PC?平面PCD，
∴AP⊥平面PCD，又AP?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AP⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，
∴l(xiāng)∥PA，
又l?平面PAD，AP?平面PAD，
∴l(xiāng)∥平面PAD．

點評 本題考查了空間線面平行于垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．