Question

1．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$的焦點相同，且它們的離心率的乘積等于$\frac{8}{5}$，則此雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根據題意，求出橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$的焦點坐標以及離心率e，由此設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由題意可得a²+b²=16以及e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，解可得a²=4，b²=12，代入雙曲線的方程即可得答案．

解答 解：根據題意，橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$，
其焦點坐標為（0，±4），離心率e=$\frac{4}{5}$，
對于雙曲線，設其方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
則有a²+b²=16，
且其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解可得a²=4，b²=12，
則雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線、橢圓的標準方程，關鍵是求出橢圓的焦點坐標以及離心率．