Question

16．設數列{a_n}滿足${a_1}=\frac{3}{8}$，且對任意的n∈N^*，滿足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，則a₂₀₁₇=$\frac{{{3^{2017}}}}{8}$．

Answer 1

分析 對任意的n∈N^*，滿足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，可得10×3ⁿ≤（a_n+4-a_n+2）+（a_n+2-a_n）≤3ⁿ⁺²+3ⁿ=10×3ⁿ．a_n+4-a_n=10×3ⁿ．利用a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₃）+（a₂₀₁₃-a₂₀₀₉）+…+（a₅-a₁）+a₁與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵對任意的n∈N^*，滿足${a_{n+2}}-{a_n}≤{3^n}，{a_{n+4}}-{a_n}≥10×{3^n}$，
∴10×3ⁿ≤（a_n+4-a_n+2）+（a_n+2-a_n）≤3ⁿ⁺²+3ⁿ=10×3ⁿ．
∴a_n+4-a_n=10×3ⁿ．
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₃）+（a₂₀₁₃-a₂₀₀₉）+…+（a₅-a₁）+a₁
=10×（3²⁰¹³+3²⁰⁰⁹+…+3）+$\frac{3}{8}$
=10×$\frac{3×（8{1}^{504}-1）}{81-1}$+$\frac{3}{8}$=$\frac{{3}^{2017}}{8}$．
故答案為：$\frac{{{3^{2017}}}}{8}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、累加求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．