Question

8．（Ⅰ）已知函數f（x）=|2x-3|-2|x|，若關于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）已知正數x，y，z滿足2x+y+z=1，求證$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$$≥2+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）利用絕對值不等式的性質得出f（x）的最大值，得出關于a的不等式，再討論a+2的符合解不等式即可；
（II）利用柯西不等式即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x-3|-|2x|≤|（2x-3）-2x|=3，
∴3≤|a+2|+2a，
當a＜-2時，不等式為3≤-a-2+2a，解得a≥5（舍），
當a≥-2時，不等式為3≤a+2+2a，解得a≥$\frac{1}{3}$，
綜上，a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞）．   
（Ⅱ）∵2x+y+z=1，∴（x+2y+z）+（z+3x）=4x+2y+2z=2，
∴$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$）[（x+2y+z）+（z+3x）]
≥$\frac{1}{2}$×（1+$\sqrt{3}$）²=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質與解法，柯西不等式的應用，屬于中檔題．