Question

10．《九章算術》是東方數學思想之源，在卷五《商功》中有以下問題：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？譯文：如圖所示的幾何體是三個側面皆為等腰梯形，其他兩面為直角三角形的五面體，（前端）下寬6尺，上寬一丈，深3尺，末端寬8尺，無深，長7尺，則它的體積是84立方尺．

Answer 1

分析 五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF，ABCD，EFBC均為等腰梯形，EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均為直角三角形，連接BE，BD，AE，得到三個三棱錐，設三棱錐BAEF的體積為V₁，三棱錐BAED的體積為V₂，三棱錐BDEC的體積為V₃，分別求出三個三棱錐的體積，作和即可求出五面體的體積．

解答 解：如圖，五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF，ABCD，EFBC均為等腰梯形，
EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均為直角三角形，
EF=6，AD=10，BC=8，
EF到平面ABCD的距離為3，AD與BC的距離為7，
連接BE，BD，AE，
得到三個三棱錐，設三棱錐BAEF的體積為V₁，三棱錐BAED的體積為V₂，三棱錐BDEC的體積為V₃，
則${V}_{3}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×7×3=28$，${V}_{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×10×7×3=35$，
${V}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×3×7=21$．
∴五面體的體積：V=V₁+V₂+V₃=28+35+21=84（立方尺）．
故答案為：84．

點評 本題考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉化思想，數形結合思想，是中檔題．