Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，AA₁=AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中點，F是BB₁上的點，AB₁，DF交于點E，且AB₁⊥DF，則下列結論中不正確的是（　　）

• A． CE與BC₁異面且垂直
• B． AB₁⊥C₁F
• C． △C₁DF是直角三角形
• D． DF的長為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用空間線面位置關系的判定定理和性質逐個進行判斷．

解答 解：對于A，∵BC₁?平面B₁C₁CB，CE?平面B₁C₁CB，且C∈平面B₁C₁CB，
∴CE與BC₁是異面直線，
∵AA₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面B₁C₁CB，又BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AC⊥BC₁，
又四邊形B₁C₁CB是正方形，∴BC₁⊥B₁C，
又B₁C∩AC=C，
∴BC₁⊥平面AB₁C，∵CE?平面AB₁C，
∴BC₁⊥CE，故A正確；
對于B，∵C₁A₁=C₁B₁，D是A₁B₁的中點，∴C₁D⊥A₁B₁，
由AA₁⊥底面A₁B₁C₁可得AA₁⊥C₁D，
又A₁B₁∩AA₁=A₁，∴C₁D⊥平面ABB₁A₁，
∴C₁D⊥AB₁，又DF⊥AB₁，C₁D∩DF=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF，
∴AB₁⊥C₁F，故B正確；
對于C，由C₁D⊥平面ABB₁A₁可得C₁D⊥DF，
故△C₁DF是直角三角形，故C正確；
對于D，∵AC=BC=AA₁=1，∠ACB=90°，
∴A₁B₁=AB=$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，∴DB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB₁⊥DF，∴∠FDB₁=∠AB₁F=∠A₁AB₁，
∴cos∠FDB₁=cos∠A₁AB₁，即$\frac{D{B}_{1}}{DF}=\frac{A{A}_{1}}{A{B}_{1}}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{DF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故D錯誤．
故選D．

點評 本題考查了空間線面位置關系的判斷，掌握判定定理和性質是解題關鍵，屬于中檔題．