Question

17．已知命題p：?x∈（-∞，0），2^x＞3^x；命題q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＞x，則下列命題為真命題的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∨q
• C． （￢p）∧q
• D． p∧（￢q）

Answer 1

分析 命題p：?x∈（-∞，0），$（\frac{2}{3}）^{x}$＞1，即2^x＞3^x，可得p是真命題．命題q：x∈（0，$\frac{π}{2}$），令f（x）=x-sinx，利用導數研究其單調性即可得出真假．

解答 解：命題p：?x∈（-∞，0），$（\frac{2}{3}）^{x}$＞1，即2^x＞3^x，因此p是真命題．
命題q：x∈（0，$\frac{π}{2}$），令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx＞0，因此函數f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）單調遞增，∴f（x）＞f（0）=0．∴?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＜x，因此q是假命題．
則下列命題為真命題的是p∧（￢q）．
故選：D．

點評 本題考查了指數函數的單調性、利用導數研究函數的單調性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．