Question

9．如圖所示，PA與四邊形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若PA=$\sqrt{3}$，E為PC的中點，設直線PD與平面BDE所成角為θ，求sin θ．

Answer 1

分析 （1）推導出PB⊥BC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AB⊥BC．
（2）分別以BC，BA所在直線為x，y軸，過B且平行于PA的直線為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出sin θ．

解答 證明：（1）由PA⊥平面ABCD，AB=AD，可得PB=PD，
又BC=CD，PC=PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC=∠PDC．
因為PD⊥DC，所以PB⊥BC．（3分）
因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．
因為AB?平面PAB，所以AB⊥BC．（5分）
解：（2）由BD=BC=CD，AB⊥BC，可得∠ABD=30°，
又已知AB=AD，BD=PA=$\sqrt{3}$，所以AB=1．
如圖所示，分別以BC，BA所在直線為x，y軸，過B且平行于PA的直線為z軸建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
所以$\overrightarrow{PD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）．
設平面BDE的法向量n=（x，y，z），（8分）
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}•n=0\\ \overrightarrow{BD}•n=0\end{array}$即$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0\end{array}$取z=-2，得n=（3，-$\sqrt{3}$，-2），（10分）
所以sin θ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×3-\frac{1}{2}×\sqrt{3}+（\sqrt{3}）×-2}{\sqrt{4}•\sqrt{16}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．