Question

1．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{11}}{11}$，求BM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點O，連結OB，OP，可得OB⊥AC，OP⊥AC，即可證得AC⊥面POB，即AC⊥PB．
 （Ⅱ）以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖（2）所示空間直角坐標系．因為$AB=BC=AP=PC=\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°，所以OB=OC=OP=1，從而O（0，0，0），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）如圖（1）取AC中點O，連結OB，OP
因為AB=BC，所以OB⊥AC，
因為AP=PC，所以OP⊥AC，∵OB∩OP=O，
∴AC⊥面POB∵PB?面POB∴AC⊥PB…（4分）


（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，
由（Ⅰ）可知OP⊥AC，∴OP⊥平面ABC，∵OB?平面ABC，∴OB⊥OP
以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖（2）所示空間直角坐標系．
因為$AB=BC=AP=PC=\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°，所以OB=OC=OP=1，
從而O（0，0，0），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…（6分）
由題意可得：$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{OB}=（1，0，0）$是平面PAC的一個法向量，
設$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BC}（0≤λ＜1）$，M（m，n，0）
由$\overrightarrow{BM}=（m-1，n，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，得：m=1-λ，n=λ，∴M（1-λ，λ，0）…（8分）
設平面PAM的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow{AP}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{AM}=（1-λ，λ+1，0）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n_2}=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n_2}=0}\end{array}}\right.$⇒$\left\{{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{（1-λ）x+（λ+1）y=0}\end{array}}\right.$，
令z=1，則y=-1，$x=\frac{1+λ}{1-λ}$，∴$\overrightarrow{n_2}=（\frac{1+λ}{1-λ}，-1，1）$…（10分）
設二面角M-PA-C的平面角為θ，
則$cosθ=cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\frac{1+λ}{1-λ}}}{{\sqrt{{{（\frac{1+λ}{1-λ}）}^2}+2}}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$，
∴$λ=\frac{1}{2}$∴$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查了空間線線垂直，向量法處理二面角的運算，屬于中檔題．