Question

20．已知直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點（點A在第一象限）若$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，則△AOB的面積為（　　）

• A． $\frac{8}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
• C． $\frac{8}{3}\sqrt{2}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點，設直線l為x=my+1，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量的坐標表示，解得m，再由三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為（1，0），
設直線l為x=my+1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選C．

點評 本題考查直線和拋物線的位置關系，主要考查韋達定理和向量的共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．