Question

15．在平面直角坐標系xoy中，一動圓經過點（$\frac{1}{2}$，0）且與直線x=-$\frac{1}{2}$相切，設該動圓圓心的軌跡方程為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設P是曲線E上的動點，點P的橫坐標為x₀，點B，C在y軸上，△PBC的內切圓的方程為（x-1）²+y²=1，將|BC|表示成x₀的函數，并求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨設b＞c，直線PB的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結合韋達定理，以及三角形的面積公式，運用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知圓心到（$\frac{1}{2}$，0）的距離等于直線x=-$\frac{1}{2}$的距離，
由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以（$\frac{1}{2}$，0）為焦點，以x=-$\frac{1}{2}$為準線的拋物線，
設拋物線方程y²=2px，則$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，則p=1，
∴曲線E的方程為y²=2x；．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）
直線PB的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圓心（1，0）到PB的距離為1，則$\frac{丨{y}_{0}-b+{x}_{0}b丨}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{x}_{0}^{2}}}$=1．
整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0，的兩根，
∴b+c=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依題意bc＜0，即x₀＞2，
則（b-c）²=（b+c）²-4bc=$\frac{4{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$．
由y₀²=2x₀，則丨BC丨=丨b-c丨=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，（x₀＞2）．
∴S=$\frac{1}{2}$丨BC丨x₀=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8．
當（x₀-2）=$\frac{4}{{x}_{0}-2}$，即x₀=4時上式取得等號，
∴△PBC面積的最小值為8．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，主要考查定義法和方程的運用，同時考查直線和拋物線方程聯立，運用韋達定理，直線和圓相切的條件：d=r，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．