Question

18．已知向量$\overrightarrow a$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，若f（θ）=0，求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出tanθ的值，再化簡(jiǎn)$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$并求值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sinx，cosx），
f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=sinx-$\sqrt{3}$cosx，
∴f（θ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ=0，
∴$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=$\sqrt{3}$；
∴$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{2•\frac{1+cosθ}{2}-sinθ-1}{\sqrt{2}（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）}$
=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{1-tanθ}{tanθ+1}$
=$\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$
=$\frac{{（1-\sqrt{3}）}^{2}}{{1}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$
=$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，是中檔題．