Question

3．若實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y+1≥0\\ 2x+y-5≥0\\ x-2≤0\end{array}\right.$，則$z=\frac{4x}{3x+2y}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{64}{15}$
• C． $\frac{16}{19}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先畫出滿足條件的平面區域，結合$z=\frac{4x}{3x+2y}$，轉化為斜率的最小值，然后求出z的最大值即可．

解答 解：畫出實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y+1≥0\\ 2x+y-5≥0\\ x-2≤0\end{array}\right.$的平面區域，如圖示：
則$z=\frac{4x}{3x+2y}$=$\frac{4}{3+\frac{2y}{x}}$，由可行域可知$\frac{y}{x}$的最小值為：k_OA，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$解得A（2，1），$\frac{y}{x}$的最小值為：$\frac{1}{2}$，則$z=\frac{4x}{3x+2y}$的最大值為$\frac{4}{3+2×\frac{1}{2}}$=1．
故選：A．

點評 本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，是一道中檔題．