Question

12．若函數f（x）的圖象與函數y=（x-2）e^2-x的圖象關于點（1，0）對稱，且方程f（x）=mx² 只有一個實根，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． [0，e）
• B． （-∞，e）
• C． {e}
• D． （-∞，0）∪{e}

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）的函數圖象，根據f（x）與y=mx²的交點個數判斷．

解答 解：∵f（x）的圖象與函數y=（x-2）e^2-x的圖象關于點（1，0）對稱，
∴f（x）=-[（2-x）-2]e^2-（2-x）=xe^x，
f′（x）=e^x（x+1），
∴當x＜-1時，f′（x）＜0，當x＞-1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增，
作出f（x）的函數圖象如圖所示：

顯然，當m=0時，f（x）與y=mx²有1個交點，符合題意；排除C，D；
當m＜0時，拋物線y=mx²與f（x）的圖象有2個交點，即f（x）=mx²有2個根，不符合題意，排除B，
故選：A．

點評 本題考查了方程的根與函數圖象的關系，函數的單調性判斷，屬于中檔題．