Question

2．已知△ABC的面積為8，cosA=$\frac{3}{5}$，D為BC上一點，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，過點D做AB，AC的垂線，垂足分別為E，F，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=-$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 根據題意，利用△ABC的面積求出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|的值，再利用$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$求出D是BC的四等分點，計算S_△ABD和S_△ACD的值，求|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|的值，從而求出|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|的值，計算數量積$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•$\frac{4}{5}$=8，
即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=20；
設$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BC}$，λ∈（0，1），
則$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，∴λ=$\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•h}{\frac{1}{2}CD•h}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{1}$=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|=12；
又S_△ACD=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=2，
∴|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=4；
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=48，
∴|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|=$\frac{48}{20}$=$\frac{12}{5}$，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=|$\overrightarrow{DE}$|•|$\overrightarrow{DF}$|•cos（180°-A）=$\frac{12}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{36}{25}$．
故答案為：-$\frac{36}{25}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積與三角形面積公式的應用問題，是綜合題．