Question

14．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰最高點的距離為π．將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位后，得到y=g（x）的圖象，則g（x）的單調遞減區間為．

• A． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• B． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ-$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• C． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• D． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ-$\frac{11π}{12}$]，k∈Z

Answer 1

分析 由題意求得周期，再由周期公式求得ω，結合函數對稱軸求出φ，則函數f（x）的解析式可求，再由函數的圖象平移求得g（x），利用復合函數的單調性求g（x）的單調遞減區間．

解答 解：由圖象上相鄰最高點的距離為π，的T=$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
又圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴2×$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴φ=$-\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，
∴k=0時，φ=-$\frac{π}{6}$．
則f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x$-\frac{π}{6}$），
函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位后，
得到y=g（x）=f（x$-\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin[2（x$-\frac{π}{12}$）$-\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z．
∴g（x）的單調遞減區間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
故選：A．

點評 本題考查三角函數的圖象變換，考查y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．