Question

11．設$\overrightarrow{a}$=（cosx，-1），$\overrightarrow$=（sinx-cosx，-1），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的對稱軸方程和對稱中心的坐標；
（3）求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積和二倍角公式以及兩角差的正弦公式即可求出f（x）的解析式，
（2）根據稱軸方程和對稱中心的坐標的定義即可求出，
（3）根據正弦函數的圖象和性質即可求出

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosx，-1），$\overrightarrow$=（sinx-cosx，-1），
∴函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$=cosx（sinx-cosx）+1-$\frac{1}{2}$=cosxsinx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3}{8}$π，k∈Z，
對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3}{8}$π，k∈Z，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{8}$π，k∈Z，
∴對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{8}$π，0）k∈Z，
（3）∵f（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{1}{2}$
即sin（2x-$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+kπ，
∴不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集為[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了向量的數量積的運算和三角函數的化簡，以及正弦函數的有關性質，屬于基礎題