Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓上一點M作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂，若點A，B關于原點對稱，則k₁•k₂的值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 橢圓的離心率是e=$\frac{c}{a}$，則a=2b，則橢圓的方程可化為：x²+4y²=4b²．設M（m，n），直線AB的方程為：y=kx，可設：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀）．代入橢圓方程和利用斜率計算公式即可得出．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2b，
于是橢圓的方程可化為：x²+4y²=4b²．
設M（m，n），直線AB的方程為：y=kx，可設：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀）．
則m²+4n²=4b²，x₀²+4k²x₀²=4b²．
m²-x₀²=4k²x₀²-4n²，
∴k₁•k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$×$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{4{k}^{2}{x}_{0}^{2}-4{n}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．