Question

5．已知橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸端點與焦點分別為雙曲線E的焦點與實軸端點，橢圓D與雙曲線E在第一象限的交點在直線y=2x上，則橢圓D的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線方程，設橢圓與雙曲線在直線y=2x上的交點（m，2m），把該點坐標分別代入橢圓與雙曲線方程，消去m，化簡整理得答案．

解答 解：由題意可得，雙曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
設橢圓D與雙曲線E的一個交點坐標為（m，2m），
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，①
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{4{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，②
聯立①②，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}$．
整理得：8a⁴-8a²b²-b⁴=0．
∴${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}{b}^{2}$，
則${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=5-2\sqrt{6}$，
則$\frac{c}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質，考查計算能力，屬中檔題．