Question

10．已知拋物線E：x²=4y的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值；
（2）過A，B分別作拋物線E的切線l₁，l₂，若l₁與l₂交于點P，求$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意設直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，根據函數的單調性即可求得四邊形OACB面積的最小值；
（2）求導，利用點斜式方程，求得求得切線l₁，l₂的方程，聯立求得P點坐標，根據向量的坐標運算，即可求得$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值．

解答 解：（1）易知F（0，1）．由題意可知，直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為y=kx+1，
將直線AB的方程與拋物線方程聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4=0，-----------（2分）
設A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．-----------------（4分）
因為原點O關于點M的對稱點為C，
∴S_{四邊形OACB}=2S_△AOB=2×$\frac{1}{2}$×丨OF丨|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16}$≥4，
當k=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．----------------（6分）
（2）由x²=4y，得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，則y′=$\frac{x}{2}$，
∴l₁的方程為y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$．①
同理可得l₂的方程為y=$\frac{{x}_{2}x}{2}$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，②（8分）
由①②得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，----------------（10分）
∴點P的坐標為（2k，-1），
$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-1）（\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-1）}{4{k}^{2}+4}$=$\frac{16{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}-4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+16}{64{k}^{2}+64}$，
=$\frac{-64+16-4（16{k}^{2}+8）+16}{64{k}^{2}+64}$=-1，
$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值-1．------------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．