Question

20．已知數列{a_n}的前n項和是S_n，則下列四個命題中，錯誤的是（　　）

• A． 若數列{a_n}是公差為d的等差數列，則數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差為$\fracp9vv5xb5{2}$的等差數列
• B． 若數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差為d的等差數列，則數列{a_n}是公差為2d的等差數列
• C． 若數列{a_n}是等差數列，則數列的奇數項，偶數項分別構成等差數列
• D． 若數列{a_n}的奇數項，偶數項分別構成公差相等的等差數列，則{a_n}是等差數列

Answer 1

分析 根據等差數列的通項公式和前n項和公式進行分析，并作出判斷．

解答 解：A、若等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，前n項的和為S_n，則數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等差數列，且通項為$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）$\fracp9vv5xb5{2}$，即數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差為$\fracp9vv5xb5{2}$的等差數列，故說法正確；
B、由題意得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）d，所以S_n=na₁+n（n-1）d，則a_n=S_n-S_n-1=a₁+2（n-1）d，即數列{a_n}是公差為2d的等差數列，故說法正確；
C、若數列{a_n}是等差數列的公差為d，則數列的奇數項，偶數項都是公差為2d的等差數列，說法正確；
D、若數列{a_n}的奇數項，偶數項分別構成公差相等的等差數列，則{a_n}不一定是等差數列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，說法錯誤．
故選：D．

點評 本題考查等差數列的性質，考查等差數列的求和公式，考查運算與推理、證明的能力，屬于中檔題．