Question

5．已知f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若$g（x）=|{x+\frac{3}{2}}|+|{x-\frac{3}{2}}|（x∈$R），求證：$\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}≤g（x）$對?a∈R，且a≠0成立．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去掉絕對值符號解出；
（2）利用絕對值不等式的性質轉化得出．

解答 解：（1）當x≤-1時，不等式f（x）≤x+2為：1-x-x-1≤x+2，解得x≥-$\frac{2}{3}$（舍）；
當-1＜x≤1時，不等式f（x）≤x+2為：1-x+x+1≤x+2，解得x≥0，∴0≤x≤1；
當x＞1時，不等式f（x）≤x+2為：x-1+x+1≤x+2，解得x≤2，∴1＜x≤2．
綜上，f（x）≤x+2的解集為{x|0≤x≤2}．
（2）∵g（x）=|x+$\frac{3}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≥|x+$\frac{3}{2}$-x+$\frac{3}{2}$|=3，
而$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$≤$|{\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}}|=|{|{1+\frac{1}{a}}|-|{2-\frac{1}{a}}|}|$≤|1+$\frac{1}{a}$+2-$\frac{1}{a}$|=3，
∴$\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}≤g（x）$對?a∈R，且a≠0成立．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質與解法，屬于中檔題．