Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E為AD的中點，異面直線AP與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）證明：△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求二面角A-PE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知證明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知證明四邊形BCDE為平行四邊形，得BE∥CD．結合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由線面垂直的判定得BE⊥平面PAD，進一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P-CD-A的平面角為45°，設BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．以A為原點，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．求得E，P，C的坐標，求出平面PEC與平面PAE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PE-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵AD∥BC，AD=2BC，∴四邊形ABCD為梯形，則AB與DC相交．
∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，
又異面直線AP與CD所成的角為90°，∴PA⊥CD．
∴PA⊥平面ABCD，則PA⊥BE．
∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}AD=ED$，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，則BE∥CD．
∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
∴BE⊥AD．
由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，
∴BE⊥PE，則△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P-CD-A的平面角為45°，
設BC=1，則AD=PA=2．
在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．
以A為原點，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．
$\overrightarrow{EC}=（1，1，0），\overrightarrow{EP}=（-1，0，2）$．
設平面PEC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（2，-2，1）$．
由圖可知，平面PAE的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{-2}{1×3}=-\frac{2}{3}$．
∴二面角A-PE-C的余弦值為$-\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查面面垂直的性質，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．