Question

18．已知函數f（x）=|sinx|+cosx，現有如下幾個命題：
①該函數為偶函數；
②該函數最小正周期為$\frac{π}{2}$；
③該函數值域為$[-1，\sqrt{2}]$；
④若定義區間（a，b）的長度為b-a，則該函數單調遞增區間長度的最大值為$\frac{3π}{4}$．
其中正確命題為①③④．

Answer 1

分析 將函數f（x）表示為分段函數形式，①根據奇偶性的定義進行判斷，②利用周期性的定義進行排除，③結合三角函數的有界性進行求解，④求出函數的單調遞增區間進行判斷即可．

解答 解：當sinx≥0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，此時f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
當sinx＜0，即2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z，此時f（x）=-sinx+cosx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
①f（-x）=|sin（-x）|+cosx=|sinx|+cosx=f（x），則函數f（x）是偶函數，故①正確，
②f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+cos（x+$\frac{π}{2}$）=|cosx|-sinx≠f（x），則函數最小正周期為$\frac{π}{2}$錯誤，故②錯誤，
當2kπ≤x≤2kπ+π時，2kπ+$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，此時$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
當2kπ-π≤x≤2kπ時，2kπ$-\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{4}$，此時$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
綜上f（x））∈[-1，$\sqrt{2}$]，即函數的值域為[-1，$\sqrt{2}$]，故③正確，
④作出函數f（x）的圖象如圖：函數單調遞增的最大區間在函數f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z得2kπ-$\frac{5π}{4}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z
∵2kπ-π≤x≤2kπ，∴此時2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，即此時函數的單調遞增區間為[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{4}$]，
當k=0時，單調遞增區間為[-π，-$\frac{π}{4}$]，此時區間長度為-$\frac{π}{4}$-（-π）=$\frac{3π}{4}$，
故④正確，

故答案為：①③④．

點評 本題主要考查與三角函數有關的命題的真假判斷，利用絕對值的性質將函數表示成分段函數是解決本題的關鍵．