Question

8．已知f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx（ω＞0）的值域為A，若對任意a∈R，存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x₁），f（x₂）]=A，設x₂-x₁的最小值為g（ω），則g（ω）的值域為（0，1]．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，結合題意可得函數f（x）的周期小于或等于2，即$\frac{2π}{2ω}$≤2，求得ω≥$\frac{π}{2}$，根據x₂-x₁的最小值為半個周期，可得g（ω）=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≤$\frac{π}{π}$=1，由此可得g（ω）的值域．

解答 解：已知f（x）=sin⁴ωx-cos⁴ωx=（sin²ωx+cos²ωx ）•（sin²ωx-cos²ωx ）
=-cos2ωx（ω＞0）的值域為A=[-1，1]，
若對任意a∈R，存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x₁），f（x₂）]=A，則f（x₁）=-1，f（x₂）=1，
故函數f（x）的周期小于或等于2，即$\frac{2π}{2ω}$≤2，故有ω≥$\frac{π}{2}$，
根據x₂-x₁的最小值為半個周期，可得g（ω）=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≤$\frac{π}{π}$=1，
則g（ω）的值域為（0，1]，
故答案為：（0，1]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數的值域，余弦函數的周期性，屬于中檔題．