Question

19．已知△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，記f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$，
①求f（θ）關于θ的表達式．
②求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理求出AC的值，再利用平面向量的數量積計算f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$；
②由①化簡f（x），利用θ的取值范圍，求出正弦函數的取值范圍即可．

解答 解：①如圖所示，
△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，
由正弦定理得，$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{1}{sin120°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
∴AC=$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$
∴f（θ）=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}$
=1×$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$×cos（180°-120°-θ）
=$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$×（cos60°cosθ+sin60°sinθ）
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinθcosθ+sin²θ
=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$sin2θ-$\frac{1}{2}$cos2θ+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ-60°）+$\frac{1}{2}$，其中θ∈（0°，60°）；
②由①知，θ∈（0°，60°），
∴2θ∈（0°，120°），
∴2θ-60°∈（-60°，60°），
∴sin（2θ-60°）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2θ-60°）+$\frac{1}{2}$∈（0，1）；
即f（θ）的值域是（0，1）．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算與三角函數的圖象與性質的應用問題，是綜合題．