Question

4．已知奇函數f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的導函數的部分圖象如圖所示，E是最高點，且△MNE是邊長為1的正三角形，那么$f（{\frac{1}{3}}）$=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2π}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $-\frac{3}{4π}$

Answer 1

分析 首先由已知函數為奇函數求出φ，然后結合圖象求出函數的周期以及最值，得到函數解析式，然后求$f（{\frac{1}{3}}）$．

解答 解：由已知函數為奇函數得到f（0）=Acosφ=0，得到φ=$\frac{π}{2}$，又由函數f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的導函數f'（x）=-Aωsin（ωx+φ）的部分圖象得到T=2，所以ω=π，并且Aω=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以A=$\frac{\sqrt{3}}{2π}$，所以f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2π}$cos（πx+$\frac{π}{2}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2π}sin（πx）$，所以$f（{\frac{1}{3}}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2π}sin\frac{π}{3}=-\frac{3}{4π}$；
故選：D．

點評 本題考查了三角函數的圖象以及性質；熟練掌握正弦函數的圖象是解答此類題目的關鍵．