Question

14．若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 由等比中項的概念列式求得m值，然后分m=4和m=-4求得圓錐曲線的離心率．

解答 解：∵m是2和8的等比中項，
∴m²=16，得m=±4．
若m=4，則圓錐曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$，表示焦點在y軸上的橢圓，
此時a=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，橢圓離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
若m=-4，則圓錐曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，表示焦點在x軸上的雙曲線，
此時a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{7}$，雙曲線離心率e=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
∴圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的標準方程，考查橢圓與雙曲線的簡單性質，是基礎的計算題．