Question

2．已知正三棱錐P-ABC的側棱長為2，若二面角P-AB-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$，則三棱錐P-ABC的體積為（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 設棱錐底面邊長為a，根據二面角的大小列方程解出a，求出棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：作PO⊥底面ABC，垂足為O，則O為等邊三角形△ABC的中心，
取AB的中點D，連結PD，CD，則AB⊥PD，AB⊥CD，
∴∠PDO為二面角P-AB-C的平面角．
設棱錐的底面邊長為a，則PD=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$，PO=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin60°×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了二面角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．