Question

19．已知函數f（x）=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|（a≠0）．
（1）當a=-1時，解不等式f（x）＜4；
（2）求函數g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的分段函數的形式，解各個區間上的x的范圍，取并集即可；（2）根據絕對值的性質求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=2|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1≤x＜1}\\{-3x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，
解下列不等式：
$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＜4}\\{x≥1}\end{array}\right.$，無解；
$\left\{\begin{array}{l}{x+3＜4}\\{-1≤x＜1}\end{array}\right.$，解得：-1≤x＜1，
$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1＜4}\\{x＜-1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{5}{3}$＜x＜-1，
綜上，不等式的解集是{x|-$\frac{5}{3}$＜x＜1}；
（2）g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|+2|x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|
=2（|x+a|+|a-x|）+（|$\frac{1}{a}$-x|+|x+$\frac{1}{a}$|）
≥2（|x+a+a-x|）+|$\frac{1}{a}$-x+x+$\frac{1}{a}$|=4|a|+2|$\frac{1}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
當且僅當2|a|=|$\frac{1}{a}$|即a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$且-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取g（x）的最小值4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質以及分類討論思想，在一道中檔題．