Question

9．華中師大附中中科教處為了研究高一學生對物理和數學的學習是否與性別有關，從高一年級抽取60名同學（男同學30名，女同學30名），給所有同學物理題和數學題各一題，讓每位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如表：（單位：人）

	物理題	數學題	總計
男同學	16	14	30
女同學	8	22	20
總計	24	36	60

（1）在犯錯誤的概率不超過1%的條件下，能否判斷高一學生對物理和數學的學習與性別有關？
（2）經過多次測試后發現，甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，現甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率；
（3）現從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對他們的解答情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附表及公式：

P（K2?k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數據求出K²≈4.444＜6.635，從而得到在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，不能判斷高一學生對物理和數學的學習與性質有關．
（2）設甲、乙解答一道物理題的時間分別為x，y分鐘，由甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，利用幾何概型能求出甲比乙先解答完的概率．
（3）由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28種，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由表中數據得K²=$\frac{60×（16×22-14×8）^{2}}{30×30×24×36}$=$\frac{40}{9}$≈4.444＜6.635，
在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，不能判斷高一學生對物理和數學的學習與性質有關．
（2）設甲、乙解答一道物理題的時間分別為x，y分鐘，
∵甲每次解答一道物理題所用的時間為5-8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6-8分鐘，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤8}\\{6≤x≤8}\end{array}\right.$，設事件A表示“甲比乙先解答完”，則A表示“x＜y”，
作出可行域，如右圖：
∴甲比乙先解答完的概率P（A）=$1-\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×3}$=$\frac{2}{3}$．
（3）由題意知在選擇物理題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28種，
其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有${C}_{6}^{2}=15$種，恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}=12$種，兩人都被抽到有${C}_{2}^{2}=1$種，
∴X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查獨立檢驗的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，涉及幾何概型、排列組合等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．