Question

7．五位同學按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（1）甲乙必須相鄰
（2）甲乙不相鄰
（3）甲不站中間，乙不站兩端
（4）甲，乙均在丙的同側．

Answer 1

分析 （1）捆綁法：把甲乙看成一個整體，再全排列即可，
（2）插空法：將甲乙插入到剩下3人排列后所成的間隔中，
（3）間接法：先求出沒有限制要求的，再排除有要求的，
直接法：分兩類，第一類，乙在中間，乙不在中間，
（4）定序法，甲乙丙的順序共3種，其中甲，乙均在丙的同側占$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）捆綁法：把甲乙看成一個整體，這樣5個人變成了4個人，全排列共有A₂²A₄⁴=48 （種）站法，
（2）插空法：因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的3個人站隊，有A₃³種；第二步再將甲、乙排在3人形成的4個空檔（含兩端）中，有A₄²種，故共有站法為A₃³A₄²=72（種）．
（3）間接法：若對甲乙沒有限制條件共有A₅⁵種法，甲在中間有A₄⁴種站法，乙在兩端有2A₄⁴種，甲站中間乙站兩端的有2A₃³種，
故甲不站中間，乙不站兩端共有A₅⁵-3A₄⁴+2A₃³=120-72+12=60，
直接法：第一類，乙在中間，有A₄⁴=24種，乙不在中間，有A₂¹A₃¹A₃³=36種，根據分類計數原理共有24+36=60種，
（4）定序法：甲，乙均在丙的同側，甲乙丙的順序共3種，其中甲，乙均在丙的同側占$\frac{2}{3}$，故有$\frac{2}{3}$A₅⁵=80種．

點評 本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優先排，特殊位置要優先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現了分類討論的數學思想，是一個中檔題目