Question

11．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為4π，且對?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）成立，則關于函數f（x）的下列說法中正確的是（　　）
①φ=$\frac{π}{6}$
②函數f（x）在區間[-π，π]上遞減；
③把g（x）=sin$\frac{x}{2}$的圖象向左平移$\frac{π}{3}$得到f（x）的圖象；
④函數f（x+$\frac{4π}{3}$）是偶函數．

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③④
• D． ①④

Answer 1

分析 根據題意，求出函數f（x）的解析式，再判斷題目中的命題是否正確即可．

解答 解：函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期為4π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{2}$；
又對?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）成立，
∴x=$\frac{2π}{3}$時，函數f（x）取得最大值，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，①正確；
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
當x∈[-π，π]時，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函數f（x）不是單調遞減函數，②錯誤；
把g（x）=sin$\frac{x}{2}$的圖象向左平移$\frac{π}{3}$，得y=sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
即為f（x）的圖象，③正確；
函數f（x+$\frac{4π}{3}$）=sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{4π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{5π}{6}$），它不是偶函數，④錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故選：A．

點評 本題主要考查了求函數y=Asin（ωx+φ）的解析式，也考查了正弦函數的圖象和性質的應用問題，是中檔題．