Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的一個側(cè)面PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=2，AB=4，BD=2$\sqrt{3}$
（1）求證；PA⊥BD
（2）求二面角D-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)得BD⊥面PAD，即可證得DB⊥PA．
（2）二面角D-BC-P的余弦值即二面角A-BC-P的余弦值，作PO⊥AD于O，則PO⊥面ABCD．過O作OE⊥BC于E，連接PE，則∠PEO為二面角A-BC-P的平面角，在△PEO中，求得cos∠PEO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即可得二面角D-BC-P的余弦值

解答 解：（1）在△ABD中，AD⊥DB，
由平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥面PAD，∴DB⊥PA．
（2）二面角D-BC-P的余弦值即二面角A-BC-P的余弦值，
作PO⊥AD于O，則PO⊥面ABCD．
過O作OE⊥BC于E，連接PE，則∠PEO為二面角A-BC-P的平面角．
又△PEO中，PO=$\sqrt{3}$，OE=DB=2$\sqrt{3}$，故PE=$\sqrt{15}$，
cos∠PEO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-BC-P的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了空間線線位置關(guān)系，面面角的求解，屬于中檔題．