Question

14．如圖，已知多面體EABCDF的底面是ABCD邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=$\frac{1}{2}$EA=1．
（Ⅰ）記線段BC的中點為K，在平面ABCD內過點K作一條直線KM，使得KM∥平面ECF，并給予證明．
（Ⅱ）求點B到平面ECF的距離．

Answer 1

分析 （I）取線段CD的中點M，連接KM，直線KM即為所求．借助于KM∥BD∥FG給出證明；
（II）利用V_E-DCF=V_D-EFC=V_A-FDC求出D到平面EFC的距離即可．

解答 解：（Ⅰ）取線段CD的中點M，
連接KM，直線KM即為所求．
證明如下：
取EC中點G，連接FG，連接AC交BD于O．
則OG為△EAC的中位線．
∴OG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$EA，又FD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$FA，
∴OG$\stackrel{∥}{=}$FD，
∴四邊形FGOD為平行四邊形，∴FG∥OD．
∵K，M分別為BC，CD的中點，
∴KM∥OD，∴KM∥FG．
∵FG?平面EFC，KM?平面EFC，
∴KM∥平面EFC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD∥FG，又BD?平面EFC，FG?平面EFC，
∴BD∥平面EFC，
∴B到平面EFC的距離等于D到平面EFC的距離，設為h．
∵EA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EA⊥AD，又FD∥EA，
∴FD⊥AD，
又∵AD⊥CD，CD∩FD=D，
∴AD⊥平面DCF．
∴V_E-DCF=V_A-DCF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$=$\frac{2}{3}$，
在△ECF中，∵EF=FC=$\sqrt{5}$，∴FG⊥EC，
又FG=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，EC=$\sqrt{E{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴S_△EFC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
∴V_D-EFC=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h$，
∵V_E-DCF=V_D-EFC，∴$\frac{\sqrt{6}h}{3}$=$\frac{2}{3}$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴B到平面EFC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，體積與空間距離的計算，屬于中檔題．