Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M（-4，1），則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點(diǎn)公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)直線x-y+5=0與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x₁+x₂=-8，y₁+y₂=2，
直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，屬于中檔題．