Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD邊長為4的正方形，PA=PD=2$\sqrt{2}$，平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅰ）求證：AP⊥平面PCD；
（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點E，使得三棱錐E-BCD的體積為$\frac{8}{3}$，若存在，求出$\frac{PE}{ED}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∴PA²+PD²=AD²，得AP⊥DP．由平面PAD⊥平面PCD得CD⊥面PAD，即可證得AP⊥平面PCD．
（Ⅱ）三棱錐E-BCD的體積為V=$\frac{1}{3}{s}_{△BCD}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×h=\frac{8}{3}$，得h=1；在△ADP中，邊AD上的高就是P到面ABCD的距離d，而d=$\frac{1}{2}AD=2$，可得$\frac{PE}{ED}$=1．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD=2\sqrt{2}}\\{AD=4}\end{array}\right.$，∴PA²+PD²=AD²，∴AP⊥DP．
∵$\left\{\begin{array}{l}{面PAD⊥面ABCD}\\{面PAD∩面ABCD=AD}\\{CD?面ABCD}\\{CD⊥AD}\end{array}\right.$，∴CD⊥面PAD，
又∵AP?面ADP，∴AP⊥CD，
且CD∩PD=D，
∴AP⊥平面PCD．
（Ⅱ）如圖，設三棱錐E-BCD的高為h，
三棱錐E-BCD的體積為V=$\frac{1}{3}{s}_{△BCD}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×h=\frac{8}{3}$，得h=1．
在△ADP中，邊AD上的高就是P到面ABCD的距離d，而d=$\frac{1}{2}AD=2$，
∴E是邊PD的中點，∴$\frac{PE}{ED}$=1．

點評 本題考查了空間線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．