Question

8．已知橢圓的兩個焦點為F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），M是橢圓上一點，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P是橢圓上任意一點，A₁、A₂分別是橢圓的左、右頂點，直線PA₁，PA₂與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$分別交于E，F兩點，試證：以EF為直徑的圓交x軸于定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，設|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．可得m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．解出即可得出．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），設P（x₀，y₀），則直線PA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點的坐標為E，直線PA₂的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點的坐標為F．再設以EF為直徑的圓交x軸于點Q（m，0），則QE⊥QF，可得k_QE•k_QF=-1，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．即可得出．

解答 解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，設|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
∴m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．
解得：a=3，b=2．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），設P（x₀，y₀），則直線PA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點的坐標為E$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}×\frac{3\sqrt{5}+6}{2}）$，
直線PA₂的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它與直線x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交點的坐標為F$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}×\frac{3\sqrt{5}-6}{2}）$．
再設以EF為直徑的圓交x軸于點Q（m，0），則QE⊥QF，
從而k_QE•k_QF=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$×$\frac{3\sqrt{5}+6}{2}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$$\frac{3\sqrt{5}-6}{2}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，
即$\frac{\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．
∴$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$=1，解得m=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$±1．
故以EF為直徑的圓交x軸于定點，該定點的坐標為$（\frac{3\sqrt{5}}{2}±1，0）$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、勾股定理、相互垂直的直線斜率之間的關系、圓的性質、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．