Question

20．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的零點構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則f（x）的一個單調遞增區間是（　　）

• A． $（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$
• B． $（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$
• C． $（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$
• D． $（\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}）$

Answer 1

分析 根據零點構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，可得周期T=π，求出ω，利用$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出φ，結合三角函數的圖象及性質，可得單調性．

解答 解：由題意，零點構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，
∴周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
∴函數f（x）=sin（2x+φ）．
又$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則sinφ=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$-\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{3}$．
故得函數f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，
當k=0時，可得一個單調遞增區區為：$（-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}）$．
故選：C．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，求出解析式是解決本題的關鍵．屬于基礎題．