Question

15．已知實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+5≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$，z=x+yi（i為虛數單位），則|z-4+5i|的最小值等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，根據復數的幾何意義轉化為兩點間的距離進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖，
|z-4+5i|的幾何意義是復平面內區域內的點到點（4，-5）的距離，
由圖象知AD的距離最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即A（3，-3），
則|z-4+5i|=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-3+5）^{2}}$=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，結合復數的幾何意義轉化為距離問題是解決本題的關鍵．