Question

5．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則z=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$大值為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 畫出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，利用目標函數求解最大值即可．

解答 解：實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$的可行域如圖：
，$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，令$t=\frac{y}{x}$，作出可行域知$t=\frac{y}{x}$的取值范圍[k_OB，k_OA]，易知：A（1，2），B（3，1）
可得$t∈[\frac{1}{3}，2]$，于是$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=t+\frac{1}{t}$，
t∈（1，2]，函數是增函數，t∈（$\frac{1}{3}，1$）函數是減函數，t=$\frac{1}{3}$時，z取得最大值為$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，判斷目標函數的幾何意義，函數的最值是解題的關鍵．