Question

9．已知函數f（x）=（x+m）lnx，曲線y=f（x）在x=e（e為自然對數的底數）處得到切線與圓x²+y²=5在點（2，-1）處的切線平行．
（1）證明：$f（x）＞-\frac{1}{2}$；
（2）若不等式（ax+1）（x-1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出m的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；
（2）問題轉化為（a+1）lnx+$\frac{1}{x}$-ax+a-1＞0在x∈（0，1）上恒成立，設h（x）=（a+1）lnx+$\frac{1}{x}$-ax+a-1，x∈（0，+∞），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 （1）證明：∵f（x）=（x+m）lnx，
∴f′（x）=lnx+$\frac{x+m}{x}$，
易知圓x²+y²=5在點（2，-1）處的切線方程是2x-y=5，
由題意得f′（e）=2，即lne+$\frac{e+m}{e}$=2，解得：m=0，
∴f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{e}$，
x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，
x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
故f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取極小值，也是最小值，最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
又-$\frac{1}{e}$＞-$\frac{1}{2}$，故f（x）＞-$\frac{1}{2}$；
（2）解：若不等式（ax+1）（x-1）＜（a+1）lnx在x∈（0，1）上恒成立，
則（a+1）lnx+$\frac{1}{x}$-ax+a-1＞0在x∈（0，1）上恒成立，
設h（x）=（a+1）lnx+$\frac{1}{x}$-ax+a-1，x∈（0，+∞），
則h′（x）=$\frac{（1-x）（ax-1）}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，
故h（x）在（0，1）遞減，又h（1）=0，
故x∈（0，1）時，總有h（x）＞0，符合題意；
②a＞1時，令h′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$或x=1，
易知h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，1）遞增，又h（1）=0，
故x∈（$\frac{1}{a}$，1）時，總有h（x）＜0，不符合題意；
③0＜a≤1時，h′（x）＜0在（0，1）恒成立，
故h（x）在（0，1）遞減，又h（1）=0，
故x∈（0，1）時，總有h（x）＞0，符合題意；
綜上，a的范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．